Ответы к задачам повышенной трудности: Глава VII. Подобные треугольники

847. б) Указание. Сначала доказать, что DF = DE и AF = FE. Затем воспользоваться подобием треугольников AED и AFE.

848. Указание. Пусть АК — биссектриса треугольника АВС и, например, АС > АВ. Пользуясь задачей 535, сначала доказать, что точка М лежит между точками К и С. Затем воспользоваться задачей 556.

849. Указание. Воспользоваться утверждением: отрезок, соединяющий основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает от него треугольник, подобный этому треугольнику.

850. Указание. Сначала доказать, что и где М — точка пересечения прямых СК и АВ.

851. Указание. Пусть АВС — данный треугольник, a D — точка пересечения диагоналей квадрата, построенного на гипотенузе ВС. На продолжении луча С А отметить точку Е так, чтобы ∠CDE = ∠ADB. Сначала доказать, что ABD = ECD.

852. Указание. Пусть BD и СЕ — биссектрисы треугольника АВС. Сначала доказать, что ∠C = 2∠B, ∠B = 2∠A, а затем доказать, что и

853. Указание. Пусть Е и F — точки пересечения МР и MQ с ОВ и ОА. Воспользоваться подобием треугольников OPR и OFQ, OQS и ОЕР для доказательства того, что треугольники OEF и ORS подобны.

854. Указание. Воспользоваться тем, что АН — медиана треугольника, подобного треугольнику BDH.

855. Указание, а) Рассматривая подобные треугольники, сначала доказать, что AD² = АС • АЕ, DB² = ВС • BF и CD² = AD • DB. б) Применить теорему Пифагора к треугольникам AED и DFB. в) Воспользоваться подобием треугольников AED и АСВ.

856. a) ∠A = 75°, ∠B= 135°, ∠C = 60°, ∠D = 90°. б) Указание. Учесть, что треугольники АВР и DAB подобны.

857. Указание. Воспользоваться задачей 567.

858. Указание. Пусть MN — отрезок, соединяющий середины сторон AD и ВС данного четырёхугольника ABCD. Отметить точку D₁ симметричную точке D относительно точки N, и рассмотреть ABD₁.

859. Указание. Воспользоваться задачей 858.

860. Указание. Воспользоваться задачей 858.

861. Указание. Воспользоваться теоремой о средней линии треугольника и задачами 404 и 820.

862. Указание. Продолжить перпендикуляры AM и АК до пересечения с прямой ВС в точках D и Е и сначала доказать, что МК — средняя линия треугольника DAE.

863. Указание. Воспользоваться задачей 435.

864. Указание. Воспользоваться задачей 863.

865. Указание. Пусть точка N — середина АС. Доказать сначала, что треугольники МВС и MNC равны и BN — средняя линия треугольника АКС. Далее воспользоваться следствием 2, п. 53.

866. Указание. Через концы одной из медиан треугольника АВС провести прямые, параллельные двум другим медианам, и воспользоваться тем, что образовавшийся при этом треугольник равен треугольнику EFG.

867.

868. Указание. Воспользоваться подобием треугольников MND и МАВ, MAD и МРВ.

869. Указание. Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, X — искомая точка большего основания AD, а АВ — данная боковая сторона. Сначала доказать, что и воспользоваться задачей 584.

870. Решение. На произвольном луче с началом в точке А откладываем отрезок АС₁, равный отрезку АС, и на луче С₁А от точки С₁ — отрезок С₁В₁? равный отрезку СВ (сделайте рисунок). Убедитесь в том, что прямая, проходящая через точку С₁, и параллельная прямой ВВ₁, пересекает прямую АВ в искомой точке D. Задача не имеет решения, если С — середина отрезка АВ.

871. Указание. Сначала построить какой-нибудь равнобедренный треугольник по данному углу.

872. Указание. Пусть АВС — искомый треугольник, у которого даны стороны АВ, АС и биссектриса AD. На прямой AD отметить точку Е так, чтобы BE || АС. Воспользовавшись подобием треугольников ADC и EDB и задачей 535, построить сначала отрезок DE, а затем треугольник АВЕ по трём сторонам.

873. Указание. Сначала построить какой-нибудь треугольник, подобный искомому треугольнику АВС.

874. Указание. Пусть h_a, h_b и h_c — данные высоты. Воспользоваться тем, что стороны а, b и с искомого треугольника пропорциональны отрезкам h_b, h_a и

875. Указание. Пусть ABCD — искомая трапеция, у которой известны ∠A, боковая сторона АВ и большее основание AD. Сначала построить ABD, а затем BCD по углу В, стороне BD и отношению двух других сторон.

876. Указание. Сначала выразить диагонали искомого ромба через сторону данного квадрата и данные отрезки

<<< К началу